I. Barisan Dan Deret Aritmetika

 A. Barisan Dan Deret Aritmetika

Barisan aritmetika merupakan barisan bilangan yang memiliki beda atau selisih tetap antara dua suku yang berurutan.

Contoh Barisan Aritmetika:

Rumus untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika:

Rumus untuk mencari beda pada barisan aritmetika:

Berbeda dengan barisan, deret merupakan hasil penjumlahan pada barisan aritmetika. Namun, deret tidak selalu menjumlahkan keseluruhan suku dalam suatu barisan. Rumus deret hanya menjumlahkan barisan aritmetikanya hanya sampai suku yang diperintahkan saja.

Contoh Soal 1 :

Diketahui sebuah barisan aritmetika 15, 19, 23, 27, 31, … .

a. Tentukan suku ke 25!

b. Tentukan 10 suku pertama!

Pembahasan :

Contoh Soal Cerita 2 :

Seorang pemetik kebun memetik jeruknya setiap hari, dan mencatat banyaknya jeruk yang dipetik. Ternyata banyaknya jeruk yang dipetik pada hari ke-n memenuhi rumus Un = 50 + 25n. Jumlah jeruk yang telah dipetik selama 10 hari yang pertama adalah .......

A. 2.000 buah

B. 1.950 buah

C. 1.900 buah

D. 1.875 buah

E. 1.825 buah

Diketahui Un = 50 + 25n, maka:

U₁ = 50 + 25(1) = 75

U₁₀ = 50 + 25(10) = 300

Sn = n/2 (a + Un)

S₁₀ = 10/2 (75 + 300)

      = 5(375)

      = 1.875

Jadi, jumlah jeruk yang telah dipetik selama 10 hari pertama adalah 1.875 buah

(JAWABAN: D)

B. Barisan Dan Deret Geometri

• Pengertian Barisan Geometri

Barisan geometri adalah pola bilangan atau urutan bilangan yang memiliki perbandingan atau rasio tetap antarsukunya. Contohnya seperti pada pembelahan amoeba, di mana satu amoeba akan membelah diri menjadi dua, dua amoeba akan membelah diri menjadi empat, dan seterusnya. Jika dinyatakan sebagai barisan geometri, akan menjadi 1, 2, 4, 8, 16, 32, dan seterusnya. Bilangan 1, 2, 4, 8, …, n disebut sebagai suku atau penyusun barisan. Secara matematis, suku dilambangkan sebagai Un (suku ke-n). Sementara itu, nilai perbandingan antara Un+1 dan Un disebut sebagai rasio. Secara matematis, rasio dilambangkan sebagai r. nilai rasio tidak selalu r > 1, ya. Jika nilai sukunya semakin mengecil, sudah pasti rentang rasionya r < 1. Suku pertama (U1) pada barisan geometri dilambangkan sebagai a.

• Pengertian Deret Geometri

Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku pada barisan geometri. Secara matematis, deret geometri dilambangkan sebagai Sn. Contohnya saat kamu diminta untuk menentukan jumlah seluruh amoeba setelah membelah diri 10 kali. Lantas, apa perbedaan deret geometri dan deret aritmatika? Perbedaannya, deret geometri berlaku untuk barisan geometri, sedangkan deret aritmatika berlaku untuk barisan aritmatika. 

• Rumus Barisan Geometri

Secara matematis, rumus suku ke-n barisan geometri adalah sebagai berikut.

Dengan ketentuan:

U_n = suku ke-n;

a = suku ke-1 atau U₁; 

n = letak suku yang dicari; dan

r = rasio atau perbandingan antara U_n+1 dan U_n.

Setelah kamu tahu rumus untuk mencari suku-n, cobalah hitung berapa jumlah amoeba yang dihasilkan pada pembelahan ke-10? Jumlah awal amoebanya adalah satu, ya.

Mula-mula, kamu harus membuat barisan geometri dari pembelahan amoeba seperti berikut.

1, 2, 4, 8, 16, 31, …, …

Dari barisan di atas, diketahui:

a = U₁ = 1

r = 2 : 1 = 2 atau 4 : 2 = 2

n = 10

dengan demikian:

Jadi, banyaknya amoeba di pembelahan ke-10 adalah 512.

• Rumus Deret Geometri

Jika r > 1, rumus deret geometrinya dinyatakan sebagai berikut.

Dengan:

Sn = jumlah n suku barisan geometri;

a = suku ke-1 atau U1; 

n = letak suku yang dicari; dan

r = rasio atau perbandingan antara Un+1 dan Un.

Contoh Soal 1 :

Diketahui suatu deret geometri berikut.

Berapakah nilai suku ke-15?

Pembahasan:

Mula-mula, kamu harus mencari rasio dari barisan pada soal.

Dengan demikian, suku ke-15 bisa dicari dengan rumus berikut.

Jadi, suku ke-10 nilainya adalah x16.384.

Contoh Soal Cerita 2 :

Farhan memiliki seutas tali. Lalu, tali tersebut dipotong menjadi 5 bagian dengan ketentuan, setiap potongan merupakan kelipatan potongan sebelumnya dan nilai kelipatan itu selalu tetap. Potongan tali yang paling pendeknya adalah 3 cm dan potongan tali terpanjangnya 243 cm. Berapakah panjang tali mula-mula?

Pembahasan:

Diketahui:

U1 = a = 3 cm

U5 = 243

Ditanya: Sn =…?

Jawab:

Mula-mula, kamu harus mencari rasio setiap potongan tali tersebut

Lalu, tentukan panjang tali menggunakan rumus deret geometri untuk r > 1.

Jadi, panjang tali Farhan mula-mula adalah 363 cm atau 3,63 m.

C. Bunga Penyusutan, Pertumbuhan, Dan Peluruhan, Bunga Dan Anutias

Pengertian Bunga

Bunga yaitu selisih antara jumlah uang yang dipinjamkan oleh pemodal dengan jumlah uang yang akan dikembalikan oleh pemakai modal menurut kesepakatan bersama.

Adapun besarnya bunga dipengaruhi oleh: besarnya jumlah uang yang dipinjam, jangka waktu untuk meminjam, dan tingkat suku bunga / persentase. 

Penyusutan

penyusutan atau depresiasi adalah suatu penurunan dari nilai aset tetap. Penyusutan ini sifatnya permanen. Dengan kata lain, ketika aset tersebut dikurangi biaya penyusutan, maka tidak bisa lagi dikembalikan ke nilai aslinya. Penyusutan aset ini bisa dikarenakan penggunaan aset atau berakhirnya waktu. 

Rumus:

Biaya penyusutan = (Harga perolehan – Nilai residu) / Umur ekonomis

• Perhitungan tanpa menggunakan nilai residu

Rumus:

Biaya penyusutan = Harga perolehan / Umur ekonomis

Contoh soal :

PT Kurnia Sari membeli mobil baru untuk kebutuhan operasional perusahaan pada tanggal 15 Maret 2015 dengan harga Rp400.000.000 dan dibayar secara tunai. Empat tahun kemudian, mobil tersebut akan dijual dengan harga Rp100.000.000. Mobil tersebut sudah mengalami perubahan performa, yang awalnya bisa menempuh jarak hingga 100.000 km, sekarang hanya bsia menempuh jarak 50.000 km selama pemakaiannya. Berapakah biaya penyusutan mobil tersebut?

Jawab:

Kita gunakan rumus metode unit produksi.

Biaya penyusutan = (Harga perolehan – Harga residu) x (Pemakaian / Kapasitas maksimal)

Biaya penyusutan = (400.000.000 – 100.000.000) x (50.000 km / 100.000) = 150.000.000

Jadi, biaya penyusutan pada mobil tersebut adalah Rp150.000.000.

Pertumbuhan

pertumbuhan yaitu pertambahan atau kenaikan nilai suatu besaran terhadap besaran yang sebelumnya yang umumnya mengikuti pola aritmatika (linier) atau geometri (eksponensial). 

Contoh dari pertumbuhan misalnya perkembangbiakan amoeba dan pertumbuhan penduduk.

Rumus pertumbuhan linear;

Sedangkan rumus pertumbuhan eksponensial;

Keterangan;

Pn = nilai besaran setelah n periode

P0 = nilai besaran pada awal periode

b = tingkat pertumbuhan

n = banyaknya periode pertumbuhan

Contoh Soal

Pada telapak tangan yang kotor, bakteri dapat mengalami peningkatan 4% secara eksponensial untuk 2 jam sekali. Saat ini terdapat bakteri sebanyak 200.000 pada telapak tangan tersebut. Hitunglah banyaknya bakteri setelah 2 jam kemudian!

Jawab;

P0 = 200.000

b = 4% = 0,04

n = 2 jam

Banyaknya bakteri setelah 2 jam;

Pn = P0 (1+b)n

P2 = 200.000 (1 + 0,04)2

P2 = 200.000 (1,0816)

P2 = 216.320 bakteri

Peluruhan

Peluruhan yaitu berkurangnya nilai atau penurunan suatu besaran terhadap nilai besaran yang sebelumnya, yang umumnya mengikuti pola aritmatika (linier) atau geometri (eksponensial). Peluruhan misalnya, peluruhan zat radioaktif dan penurunan harga jual mobil.

Rumus peluruhan linear;

Rumus peluruhan eksponensial;

Keterangan;

Pn = nilai besaran setelah n periode

P0 = nilai besaran pada awal periode

b = tingkat peluruhan

n = banyaknya periode pertumbuhan

Contoh Soal

Sebuah bahan radioaktif, mulanya berukuran 150 gram mengalami reaksi kimia sehingga mengalami penyusutan sebanyak 3% dari ukuran sebelumnya setiap 4 jam secara eksponensial. Tentukanlah ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 1 hari!

Jawab:

P0 = 100 gram

b = 3% = 0,03

Setelah 1 hari, maka ukuran radioaktif tersebut;

Anuitas

Anuitas yaitu sistem pembayaran atau penerimaan secara berurutan dengan jumlah serta waktu yang tetap /tertentu. Apabila sebuah pinjaman dikembalikan secara anuitas, maka ada tiga hal yang menjadi dasar dari perhitungannya, yakni;

1. Besarnya pinjaman,

2. Besarnya bunga, dan 

3, besarnya waktu serta jumlah periode pembayaran

Anuitas diberikan secara tetap untuk tiap akhir periode yang fungsinya membayar bunga atas hutang, dan mengangsur hutang itu sendiri, sehingga perhitungannya;

Anuitas = Bunga atas hutang + Angsuran hutang

Jika hutang sebesar M0 = Memperoleh bunga sebesar b per bulannya dengan anuitas sebesar A, maka bisa ditentukan:

Besarnya bunga pada periode ke-n;

Daftar Pusaka :

https://rumushitung.com/2021/04/16/bunga-pertumbuhan-peluruhan-pengertian-jenis-dan-rumusnya/

https://www.quipper.com/id/blog/mapel/matematika/barisan-dan-deret-geometri/

https://akupintar.id/info-pintar/-/blogs/barisan-deret-aritmetika-dan-geometri-pengertian-rumus-dan-contoh-soal

https://www.zenius.net/blog/cara-menghitung-penyusutan