Induksi Matematika

Nama : Devina Rahma Kinanti

Kelas : XI IPS 1

No Absen : 8

Induksi matematika merupakan salah satu teknik pembuktian dalam matematika. Ini digunakan untuk membuktikan pernyataan khusus yang mengandung bilangan asli. Pembuktian menggunakan cara ini menghasilkan kesimpulan yang bersifat umum.

A. Pembuktian pernyataan matematika ketidaksamaan dan keterbagian

1. Pembuktian Ketidaksamaan

Berikut merupakan beberapa sifat pertidaksamaan yang sering dipakai, antara lain:

1. Sifat transitif

a > b > c ⇒ a > c atau

a < b < c ⇒ a < c

2. a < b dan c > 0 ⇒ ac < bc atau

a > b dan c > 0 ⇒ ac > bc

3. a < b ⇒ a + c < b + c atau

a > b ⇒ a + c > b + c

Mari kita coba untuk latihan menggunakan sifat-sifat diatas untuk menunjukkan implikasi “jika P(k) benar maka P(k + 1) juga benar”.

Misalkan
P(k) :  4k < 2k
P(k + 1) :  4(k + 1) < 2k+1
Jika diasumsikan P(k) benar untuk k ≥ 5, tunjukkan P(k + 1) juga benar !

Ingat bahwa target kita adalah menunjukkan
4(k + 1) < 2k+1 = 2(2k) = 2k + 2k  (TARGET)

Kita dapat mulai dari ruas kiri pertaksamaan diatas
4(k + 1) = 4k + 4
4(k + 1) < 2k + 4        (karena 4k < 2k)
4(k + 1) < 2k + 2k      (karena 4 < 4k < 2k)
4(k + 1) = 2(2k)
4(k + 1) = 2k+1

Berdasarkan sifat transitif kita simpulkan
4(k + 1) < 2k+1

2. Pembuktian Keterbagian

Pernyataan “a habis dibagi b” yang bersinonim dengan:

• a kelipatan b

• b faktor dari a

• b membagi a

Apabila p habis dibagi a serta q habis dibagi a, sehingga (p + q) juga akan habis dibagi a.

Misalnya, 4 habis dibagi 2 dan 6 habis dibagi 2, maka (4 + 6) juga akan habis dibagi 2

Sebagai contoh, 4 habis dibagi 2 dan 6 habis dibagi 2, maka (4 + 6) juga habis dibagi 2.

B. Menyelesaikan Contoh Pembuktian Pernyataan Matematika

Contoh Soal 

Buktikanlah jika 32n + 22n + 2 benar-benar habis dibagi 5. 

Agar bisa membuktikannya, maka sebaiknya Anda menerapkan beberapa tahapan diantaranya:

Langkah Pertama 

32(1) + 22(1)+2 = 32 + 24 = 9 + 16 = 25, jadi benar-benar habis dibagi 5. Hal ini terbukti.

Langkah Kedua Menggunakan 2 (n = k)

32k + 22k + 2

Langkah Ketiga ( = k + 1)

= 32(k+1) + 22(2k+2) 

= 32k+2 + 22k+2+2

= 32(32k) + 22(22k+2)

= 10(32k) + 5(22k+2) – 32k – 22k+2

= 10 (32k) + 5 (22k+2) – (32k + 22k+2)

Diperoleh:

10 (32k) sudah habis dibagi 5, 5(22k+2) sudah habis dibagi 5 dan –(32k) + 22k+2 juga habis dibagi 5. 

Semua bilangan bulat tidak negatif n, buktikan dengan memakai induksi matematika bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1.

Cari tahu basis induksi terlebih dahulu yaitu 20 = 20+1 – 1. Jadi, sangat jelas bahwa 20 = 1

Jika p(n) benar, yakni 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 adalah benar, maka tunjukkan bahwa p(n+1) juga benar: 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 juga benar, maka tunjukkan bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = (20 + 21 + 22 + … + 2n) + 2n+1 = (2n+1 – 1) + 2n+1 (hipotesis induksi). 

= (2n+1 + 2n+1) – 1

= (2.2n+1) – 1

= 2n+2 – 1 

= 2(n+1)+1 – 1 

Maka dapat dibuktikan bahwa semua bilangan bulat tidak negatif n, terbukti bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1. 

C. Latihan Soal Pernyataan Matematika berupa barisan ketidaksamaan dan keterbagian

1. Latihan Pernyataan Matematika Berupa Barisan Ketidaksamaan

Buktikan 6n + 4 habis dibagi 5, untuk masing-masing n bilangan asli.

Jawab:

P(n) : 6n + 4 habis dibagi 5

Akan dibuktikan dengan P(n) benar pada masing-masing n ∈ N.

Langkah awal:

Akan menunjukan P(1) benar

61 + 4 = 10 habis dibagi 5

Sehingga, P(1) benar

Langkah induksi:

Ibaratkan bahwa P(k) benar, yakni:

6k + 4 habis dibagi 5, k ∈ N

Akan menunjukan P(k + 1) juga benar, yakni:

6k+1 + 4 habis dibagi 5.

6k+1 + 4 = 6(6k)+ 4

6k+1 + 4 = 5(6k) + 6k + 4

Sebab 5(6k) habis dibagi 5 dan 6k + 4 habis dibagi 5, maka 5(6k) + 6k + 4 juga akan habis dibagi 5.

Sehingga, P(k + 1) benar.

Berdasarkan dari prinsip induksi matematika tersebut, terbukti bahwa 6n + 4 habis dibagi 5, untuk masing-masing n bilangan asli.

Bilangan bulat a akan habis dibagi bilangan bulat b apabila dijumpai bilangan bulat m sehingga akan berlaku a = bm.

Misalnya, “10 habis dibagi 5” benar sebab adanya bilangan bulat m = 2 sehingga 10 = 5.2.

Maka dari itu, pernyataan “10 habis dibagi 5” bisa kita tuliskan menjadi “10 = 5m, untuk m bilangan bulat”

2. latihan Soal Pernyataan Matematika Berupa Barisan Keterbagian

Buktikan untuk masing-masing bilangan asli n ≥ 4 dan berlaku

3n < 2n

Jawab:

P(n) : 3n < 2n

Akan dibuktikan P(n) berlaku untuk n ≥ 4, n ∈ NN

Akan menunjukan bahwa P(4) benar

3.4 = 12 < 24 = 16

Sehingga, P(4) bernilai benar

Ibaratkan bahwa P(k) benar, yakni:

3k < 2k, k ≥ 4

Akan menunjukan bahwa P(k + 1) juga benar, yakni:

3(k + 1) < 2k+1

3(k + 1) = 3k + 3

3(k + 1) < 2k + 3 (karena 3k < 2k)

3(k + 1) < 2k + 2k (karena 3 < 3k < 2k)

3(k + 1) = 2(2k)

3(k + 1) = 2k+1

Sehingga, P(k + 1) juga bernilai benar.

Berdasarkan konsep dari induksi matematika, terbukti bahwa P(n) berlaku untuk masing-masing bilangan asli n ≥ 4.

Daftar Pustaka : 

•https://www.pinterpandai.com/induksi-matematika-soal-dan-jawaban/

•https://www.kelaspintar.id/blog/edutech/apa-itu-induksi-matematika-4871/

•https://www.seputarpengetahuan.co.id/2020/05/induksi-matematika.html